干货:一文看懂编程中的基本数据结构与算法思想

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5.2 广度优先搜索使用队列(queue)来实现,整个过程也可以看做一个倒立的树形:

1)把根节点放到队列的末尾。

2)每次从队列的头部取出一个元素,查看这个元素所有的下一级元素,把它们放到队列的末尾。并把这个元素记为它下一级元素的前驱。(取出的元素也可以保存到一个队列)

3)找到所要找的元素时结束程序。

4)如果遍历整个树还没有找到,结束程序。

广度优先搜索相对于深度优先搜索,因为是逐层探索的,可以确保以较少的点到达目标点,缺点是存储量较大。

6 递归算法

递归就是某个函数直接或间接的调用自身。

语法形式上: 在一个函数的运行过程中, 调用这个函数自己:

直接调用: 在fun()中直接执行fun();

间接调用: 在fun1()中执行fun2(); 在fun2()中又执行fun1() ;

问题的求解过程是划分成许多相同性质的子问题的求解,而小问题的求解过程可以很容易的求出。这些子问题的解就构成里原问题的解。

待求解问题的解可以描述为输入变量x的函数f(x)。

通过寻找函数g( ),使得f(x) = g(f(x-1))。

且已知f(0)的值, 就可以通过f(0)和g( )求出f(x)的值。

扩展到多个输入变量x, y, z等, x-1也可以推广到 x - x1 , 只要递归朝着 “出口” 的方向即可。

递归算法分解出的子问题与原问题之间是纵向的, 同类的关系(枚举分解出的子问题之间是横向的, 同类的关系)。

递归的三个要点:

递归式:如何将原问题划分成子问题;

递归出口:递归终止的条件, 即最小子问题的求解,可以允许多个出口;

界函数:问题规模变化的函数, 它保证递归的规模向出口条件靠拢。

如一个求阶乘的递归程序,给定n, 求阶乘n!

阶乘的栈:

二分搜索的递归实现:

7 归并排序

归并排序(merge sort)是建立在归并操作上的一种有效的排序算法。该算法是分治法(Divide and Conquer)的一个非常典型的应用。将已有序的子序列合并,得到完全有序的序列;即先使每个子序列有序,再使子序列段间有序。若将两个有序表合并成一个有序表,称为2-路归并(2-way or binary merges sort)。

归并排序在1945年由冯·诺伊曼首次提出。

2-路归并的基本思路就是将数组分成二组A,B,如果这二组组内的数据都是有序的,那么就可以很方便的将这二组数据进行排序。如何让这二组组内数据有序?

可以将A,B组各自再分成二组。依次类推,当分出来的小组只有一个数据时,可以认为这个小组组内已经达到了有序,然后再合并相邻的二个小组就可以了。这样通过先递归的分解数列,再合并数列就完成了归并排序。

归并排序的效率是比较高的,设数列长为N,将数列分开成小数列一共要logN步,每步都是一个合并有序数列的过程,时间复杂度可以记为O(N),故一共为O(N*logN)。因为归并排序每次都是在相邻的数据中进行操作,所以归并排序在O(N*logN)的几种排序方法(快速排序,归并排序,希尔排序,堆排序)也是效率比较高的。

归并排序的实现分为递归实现与非递归(迭代)实现。递归实现的归并排序是算法设计中分治策略的典型应用,我们将一个大问题分割成小问题分别解决,然后用所有小问题的答案来解决整个大问题。非递归(迭代)实现的归并排序首先进行是两两归并,然后四四归并,然后是八八归并,一直下去直到归并了整个数组。

7.1归并排序分解

可以看到这种结构很像一棵完全二叉树,分阶段可以理解为就是递归拆分子序列的过程,递归深度为log2n。

7.2归并排序合并相邻有序子序列

再来看看并阶段,我们需要将两个已经有序的子序列合并成一个有序序列,比如上图中的最后一次合并,要将[4,5,7,8]和[1,2,3,6]两个已经有序的子序列,合并为最终序列[1,2,3,4,5,6,7,8],来看下实现步骤。

申请空间,使其大小为两个已经排序序列之和,该空间用来存放合并后的序列;

设定两个指针,最初位置分别为两个已经排序序列的起始位置;

比较两个指针所指向的元素,选择相对小的元素放入到合并空间,并移动指针到下一位置;temp[index++] = A[i] <= A[j] ? A[i++] : A[j++];

重复步骤3直到某一指针到达序列尾;

将另一序列剩下的所有元素直接复制到合并序列尾;

7.3归并排序动图演示

7.4归并排序代码

8 回溯法和分书问题

回溯算法实际上是一个类似枚举的搜索尝试过程,主要是在搜索尝试过程中寻找问题的解,当发现已不满足求解条件时,就“回溯“返回,尝试别的路径。可以参考一下走迷宫的过程,一开始会随机选择一条道路前进,一直到走不通之后就会回头直到找到另外一条没有试过的道路前进。实际上,走迷宫的算法就是回溯法的经典问题。

回溯法实际上也是一种试错的思路,通过不断尝试解的组合来达到求解可行解和最优解的目的。虽然都有穷搜的概念蕴含其中,但是回溯法和穷举查找法是不同的。对于一个问题的所有实例,穷举法注定都是非常缓慢的,但应用回溯法至少可以期望对于一些规模不是很小的实例,计算机在可接受的时间内对问题求解。

许多复杂的规模的问题都可以使用回溯法,有”通用解题方法”的美称。分书问题和八皇后都是典型的回溯法问题。

分书问题能够较有代表性地表现数据描述、递归、回溯的算法思路。

有编号为0,1,2,3,4的5本书,准备分给5个人A,B,C,D,E,写一个程序,输出所有皆大欢喜的分书方案。

每个人的阅读兴趣用一个二维数组like描述:

Like[i][j] = true i喜欢书j

Like[i][j] = false i不喜欢书j

设计一个函数trynext(int i)给第i个人分书。

用一个一维数组take表示某本书分给了某人。take[j]=i+1;//把第j本书分配给第i个人

依次尝试把书j分给人i。

如果第i个人不喜欢第j本书,则尝试下一本书,如果喜欢,并且第j本书尚未分配,则把书j分配给i。

如果i是最后一个人,则方案数加1,输出该方案。否则调用trynext(i+1)为第i+1个人分书。

如果对第i个人枚举了他喜欢的所有的书,都没有找到可行的方案,那就回到前一个状态i-1,让i-1把分到的书退回去,重新找喜欢的书,再递归调用函数,寻找可行的方案。

当like矩阵的值为

附归并排序的代码:


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